Es una transformación lineal.
La transformada de Laplace inversa es también una transformada lineal, para constantes α y β.
Donde F y G son Las transformadas de algunas funciones f y g. Al igual que la transformada de Laplace, la ecuación anterior se extiende a cualquier combinación lineal finita de transformadas de Laplace.
Forma inversa del primer teorema de traslación
Para calcular
F(s-a), primero, se debe reconocer
F(s), segundo, se determina
f(t) al obtener la transformada de Laplace inversa de
F(s), tercero, se multiplica la función
f(t) obtenida en el paso dos por la función exponencial
. Este procedimiento se resume con símbolos de la siguiente manera:
3.16.1.-Determinación de la transformada inversa mediante el uso de las fracciones parciales.
EJEMPLO 1: Evalúe la siguiente transformada de Laplace inversa utilizando las fracciones parciales:
Condiciones para el uso de las fracciones parciales:
Un factor lineal repetido es un término (s-a)n, donde a es un número real y n es un entero positivo>=2. Recuerde que si (s-a)n aparece en el denominador de una expresión racional, entonces se supone que la descomposición contiene n fracciones parciales con numeradores y denominadores constantes (s-a), (s-a)2,…, (s-a)n.
SOLUCIÓN:
Por consiguiente, con a= 3 y n= 2, la transformada anterior se escribe de la siguiente manera:
Al colocar los dos términos del lado derecho en un denominador común, se obtiene el numerador
, y esta identidad produce
.
1. Por tanto se tiene:
2. Se obtiene la transformada de Laplace inversa:
Ahora
1/(s-3)2 es
F(s)=1/s2 desplazada tres unidades a la derecha. Puesto que
, se deduce que:
Por último:
Utilizando la técnica Julio Pech se busca directamente la segunda transformada inversa en la fórmula (8) de la tabla 4.3
3.16.2.-Determinación de la transformada inversa usando usando los teoremas de Heaviside.
EJEMPLO1: Utilizando el primer teorema de traslación evalúa la siguiente transformada inversa de Laplace:
Como puede observarse el denominador es un polinomio que no puede factor izarse directamente y además, si se intenta factor izar utilizando la fórmula general de las ecuaciones cuadráticas produce raíces no reales, es decir, imaginarias.
Por lo que es necesario proceder a completar el denominador para que éste sea un trinomio cuadrado perfecto y pueda factor izarse.
El objetivo de esto es reconocer a la expresión del lado derecho como alguna transformada de Laplace F(s) en la cual s ha sido remplazada por s+2. Lo que se trata de hacer es análogo a trabajar hacia atrás. El denominador ya está en forma correcta, es decir, s2+2, con s+2 en lugar de s sin embargo, se debe arreglar el numerador mediante el manejo de las constantes.
Ahora mediante la división de término a término y la aplicación de la propiedad de linealidad se busca en la tabla 4.3 alguna fórmula que se ajuste a la nueva expresión:
Utilizando las fórmulas (5) y (4) de la tabla 4.3 se tiene lo siguiente:
Finalmente, se multiplica el resultado anterior por la función exponencial eat con a=-2, se tiene lo siguiente:
