3.1.- Definición de la transformada de Laplace.

En este capítulo estudiaremos las transformaciones de Laplace, que tiene muchas aplicaciones en problemas de la ciencia e ingeniería. Todas las funciones f(x) de las que hallemos su transformada, las supondremos causales es decir idénticamente nulas para x < 0.

Se llama transformada de Laplace de f(x), y se representa por £[f(x)], a la función F(s) definida por la integral impropia

F(s)=∫₀^∞e^-sx  f(x)dx (a veces se denota £[f(x)](s))

Para los valores de  para los cuales converge. Consideremos s ∈ R aunque puede estudiarse para valores complejos de s.

Ejemplo 3.1 Hallar £[1].

Sol.: Teniendo un cuenta que solo manejamos funciones causales deberían escribir £[u(x)] siendo u la función de Heaviside unitaria o escalón,

 

Con cualquiera de estas notaciones,

 

Para establecer condiciones suficientes que aseguren la existencia de la transformada de Laplace necesitamos algunos conceptos.

Se dice que la función f: [a,b]→R es continua a trozos si tiene a lo sumo un número finito de discontinuidades de salto finito, es decir si existe una partida {x₀, x₁,…, x_n } de  de manera que:
     a)   f sea continua en ]x_i, x_i+1 [ para i=0,1,…,n-1,

b)   ∃lim_ϵ→0+⁡f(x₁+ε)=f(x₁⁺)ϵR para i=0,1,…,n-1,
     c)   ∃lim_ϵ→0+⁡f(x₁-ε)=f(x₁^-)ϵR para i=1,…,n-1,

 

 Ejemplo de función continua a trozos

A este tipo de funciones pertenecen las que describen la rápida aparición de fuerzas o voltajes. Una función ƒ: [0, +∞{⟶R se dice continua a trozos si lo es en cada [0, N]ɄN >0.

Una función real de variable real ƒ se dice de orden exponencial si existen reales γ, M, T tales que | ƒ(x)|γx Ʉx>T. Es inmediato que M > 0, y que si la desigualdad se verifica para una constante γ₀ entonces también se cumple para cualquier γ > γ₀. Si γ_f es el infinito de los γ que la satisfacen, se dice que ƒ es de orden exponencial γ_f. Si la desigualdad se satisface para todo γ ∈ ℝ, se dice que ƒ es de orden exponencial γ_f = -∞. Si ƒ está acotada entonces γ_f ≤ 0.