La delta de Dirac es una función generalizada que viene definida por la siguiente fórmula integral:
La delta de Dirac no es una función estrictamente hablando, puesto que se puede ver que requeriría tomar valores infinitos. A veces, informalmente, se define la delta de Dirac como el límite de una sucesión de funciones que tiende a cero en todo punto del espacio excepto en un punto para el cual divergería hacia infinito; de ahí la "definición convencional" dada por la también convencional fórmula aplicada a las funciones definidas a trozos:
Es frecuente que en física la delta de Dirac se use como una distribución de probabilidad idealizada; técnicamente, de hecho, es una distribución (en el sentido de Schwartz).
En términos del análisis dimensional, esta definición de δ(x) implica que δ(x) posee dimensiones recíprocas a dx.
Definición como distribución de densidad
Definición como límite de sucesiones de funciones
La delta de Dirac se define como "límite distribucional" de una sucesión de funciones que convergen puntualmente a la función cero en todos los puntos de su dominio excepto uno. Se dice que una sucesión de funciones fn(x) converge distribucionalmente cuando:
Donde φ es una función perteneciente a un espacio vectorial de funciones, y d es un funcional continuo del espacio vectorial dual (el conjunto de esos elementos continuos es un subespacio vectorial del dual, conocido como espacio dual topológico del espacio original de funciones.
La delta de Dirac centrada se puede definir como el límite distribucional del funcional dado por d(φ) = φ(0), es decir, el límite en el sentido de las distribuciones de una sucesión de funciones tales que:
Algunos ejemplos posibles de sucesión de funciones que cumpla lo anterior son:
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