En los ejemplos anteriores hemos visto como para cada función f(x) se determina un conjunto de valores de s para los que la integral:
∫+x0e-st f (t) dt
Era convergente, es decir para los que la función es transformable. Vamos a buscar ahora una clase suficientemente amplia (y útil) de funciones para las cuales podemos probar, de una vez por todas, la existencia de la integral anterior. Para ello precisemos de dos definiciones.
Definición 1:
Una función f(t) es seccionalmente continua o continua a tramos o trozos en α≤t≤β se es posible partir el intervalo en un número finito de sub-intervalos, de tal modo que sea continua en cada uno de ellos y tenga limites a derecha e izquierda en cada punto de división, es decir; existen puntos α1 <α2 <…<α+ pertenecientes al abierto (α, β) para los que:
i. f(t) es continua en cada (αi-1, αi).
ii. Existe lim(t→α-) f(t) y lim(t→α+i-1)f(t) con i=1, 2, …, n, α0 ≡α. αn ≡ β.
Una función de este tipo sería la representada en la figura:
Definición 2:
Una función f(t) es de orden exponencial y cuando t⟶+∞, si existe un número real K > 0 y un valor t0, tales que:
|f(t)e-yt|<K
Tales que:
|f(t)|<Ke-yt| para t ≥ t0
La condición fijada expresa que una función es de orden exponencial y cuando, el crecer t, aumenta más lentamente que la función Ke-yt y esto es equivalente a que, para algún y > 0 sea finito el límite:
limt→+∞[e-yt|f(t)|]
En efecto, si es:
lim(t→+∞)[e-yt |f(t)|]=ml ≠ ∞
Entonces para valores de t suficientemente grande e-yt |f(t)| estará tan próximo a l como queramos, es decir:
∀Ԑ>0 ∃t0>0; t ≥ t0 ⇒ | e-yt| f(t)|-l|< Ԑ ⟺ l-Ԑ< e-yt |f(t)|<l+Ԑ
Si nos quedamos con la segunda parte de la desigualdad, tenemos:
e-yt |f(t)|<K = l + Ԑ
si por lo contrario, para cada y > 0, es lim(t→+∞)[e-yt |f(t)|]=∞, entonces, cualquiera que sea K > 0 existiera en t0 es e-yt |f(t)|>K con lo que f(t) no sería de orden exponencial cuando t→+∞.
