3.7.-Transformada de funciones multiplicadas por t^n, y divididas entre t

Se desarrollarán varias propiedades operacionales de la transformada de Laplace. En particular, se verá como hallar la transformada de una función f(t) que se multiplica por un monomio tⁿ, la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función periódica. Las dos últimas propiedades de transformada permiten resolver ecuaciones que no se han encontrado hasta este momento: ecuaciones integrales de Volterra, ecuaciones integro diferénciales y ecuaciones diferenciales ordinarias en las que la función de entrada es una función periódica definida por partes.

Multiplicación de una función por tⁿ. La transformada de Laplace del producto de una función f(t) con t se puede encontrar mediante diferenciación de la transformada de Laplace de f(t). Para motivar este resultado, se supone que F(s) = £{f(t)} existe y que es posible intercambiar el orden de diferenciación e integración. Entonces:

Es decir

Se puede usar el resultado anterior para hallar la transformada de Laplace de t²f(t):de la siguiente manera:

Los dos casos precedentes indican el resultado general para £{tⁿ f(t)}.

3.6.-Propiedades de la transformada de Laplace.

La definición de la transformad de Laplace no siempre es la mejor forma de hallar la transformada de una función específica. Se han establecido procesos que llamaremos propiedades, para calcular las transformadas y anti transformadas de Algunas combinaciones de funciones, a partir de las transformadas individuales.

A continuación se presenta algunas propiedades de las transformadas de Laplace, que también son válidas para la transformada inversa o anti transformadas de Laplace.

Propiedad 1: Sea una función f(t), su transformada de Laplace es: L | f(t) = F(s)

Ejemplo:

F(t) = 18                                     L[f(t)] =?

L[18] = F(s) 18/s                     Siempre que s ≥ 0

Propiedad 2:

M(t) = 3e^14t

L[m(t)] = ?

L[m(t)] = M(s) = L[3e^14t] 3L[3e^14t] = 3/s – 14              Siempre que s > 14

Propiedad 3: Sea una función m = af(t) + bg(t), donde a y b son constantes, su transformada de Laplace es:

L[m(t)] M(s) = L[af(t) + bg(t)] = L[af(t)] + L[bg(t)]

M(s) = aF(s) + bG(s)

Ejemplo:

M(t) = 3e^14t + 25Sen(7t)                     L[m(t)] = M(s) = ?

M(s) = 3/s – 14 + 175/s² + 49            Siempre que: s > 14

3.5.- Transformada de Laplace de la función escalón unitario

Don funciones que frecuentemente son usadas en la representación de funciones por tramos son la función escalón unitario (función de Heaviside) y la función impulso o función de delta (función delta de Dirac). La función escalón está definida como

 

Y está representada gráficamente en la figura.

La transformada de Laplace de la función escalón puede calcularse de la siguiente manera