MATEMATICAS V: 2011-05-08

martes, mayo 10, 2011

3.10.-Teorema de convelación.

Si L{f(t)] y L{g(t)] existen para s > α ≥ 0, entonces

Observación: La forma inversa del teorema de convolución

Es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el cálculo de fracciones parciales complejas.

Ejemplo Calcule

Solución

Usando el teorema de convolución tenemos que

	=
	=
	=

Observación: como ya hemos calculado e^t * Sen(t) podemos corroborar el resultado obtenido anteriormente

	=
	=
	=
	=

Como obtuvimos en el ejemplo anterior.

Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolución para el cálculo de transformadas inversas.

Ejemplo

Calcule la siguiente transformada inversa

Solución

Usando el teorema de convolución

	=
	=
	=
	=
	=

Observación: en este ejemplo el uso de fracciones parciales resulta viable, pues

	=
	=
	=

Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fracciones parciales puede ser realmente complejo, comparado con el uso del teorema de convolución.

Ejemplo

Calcule la siguiente transformada inversa

Solución

Usando el teorema de convolución, tenemos

	=
	=
	=
	=
	=

Observación: en este ejemplo la expansión en fracciones parciales no es tan simple

Ejemplo

Calcule la siguiente transformada inversa

Solución

Usando convolución

	=
	=
	=
	=
	=

lunes, mayo 09, 2011

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN

[Teorema de convolución]
	Si ${\cal L} \{ f(t) \}$ y ${\cal L} \{g(t) \}$ existen para $s > a \geq 0$ , entonces $\displaystyle {\cal L} \{(f \star g)(t) \} = {\cal L} \{f(t) \} {\cal L} \{g(t) \} = F(s) G(s)$

Observación: La forma inversa del teorema de convolución

$\displaystyle (f \star g)(t) = {\cal L}^{-1} \left(F(s) G(s) \right)$

es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el cálculo de fraciones parciales complejas.
Ejemplo
Calcule

$\displaystyle {\cal L} \{ e^t \star Sen(t) \}$

Solución
Usando el teorema de convolución tenemos que

$\displaystyle {\cal L} \{ e^t \star Sen(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L} \{ e^t \} {\cal L} \{ Sen(t)\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{s-1} \frac{1}{s^2 +1}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{(s+1)(s^2+1)}$

Observación: como ya hemos calculado $e^t \star Sen(t)$ podemos corroborar el resultado obtenido anteriormente

$\displaystyle {\cal L} \{ e^t \star Sen(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L} \left\{ \frac{e^t -Sen(t) - Cos(t)}{2} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} {\cal L} \{e^t \} - \frac{1}{2} {\cal L} \{ Sen(t) \} - \frac{1}{2} {\cal L} \{ Cos(t) \}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s^2+1} - \frac{s}{s^2+1} \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{(s-1)(s^2+1)}$

como obtuvimos en el ejemplo anterior. Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolución para el cálculo de transformadas inversas.
Ejemplo
Calcule la siguiente transformada inversa

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s-2)(s-3)} \right\}$

Solución
Usando el teorema de convolución

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s-2)(s-3)} \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \frac{1}{s-3} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \right\} \star {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-3} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L} e^{2t} \star e^{3t}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^t e^{2 \tau} e^{3(t - \tau)} d \tau$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{3t} - e^{2t}$

martes, mayo 10, 2011

3.10.-Teorema de convelación.

lunes, mayo 09, 2011

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN

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