MATEMATICAS V: 3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN

[Teorema de convolución]
	Si ${\cal L} \{ f(t) \}$ y ${\cal L} \{g(t) \}$ existen para $s > a \geq 0$ , entonces $\displaystyle {\cal L} \{(f \star g)(t) \} = {\cal L} \{f(t) \} {\cal L} \{g(t) \} = F(s) G(s)$

Observación: La forma inversa del teorema de convolución

$\displaystyle (f \star g)(t) = {\cal L}^{-1} \left(F(s) G(s) \right)$

es muy importante en la solución de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el cálculo de fraciones parciales complejas.
Ejemplo
Calcule

$\displaystyle {\cal L} \{ e^t \star Sen(t) \}$

Solución
Usando el teorema de convolución tenemos que

$\displaystyle {\cal L} \{ e^t \star Sen(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L} \{ e^t \} {\cal L} \{ Sen(t)\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{s-1} \frac{1}{s^2 +1}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{(s+1)(s^2+1)}$

Observación: como ya hemos calculado $e^t \star Sen(t)$ podemos corroborar el resultado obtenido anteriormente

$\displaystyle {\cal L} \{ e^t \star Sen(t) \}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L} \left\{ \frac{e^t -Sen(t) - Cos(t)}{2} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} {\cal L} \{e^t \} - \frac{1}{2} {\cal L} \{ Sen(t) \} - \frac{1}{2} {\cal L} \{ Cos(t) \}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s^2+1} - \frac{s}{s^2+1} \right)$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{(s-1)(s^2+1)}$

como obtuvimos en el ejemplo anterior. Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolución para el cálculo de transformadas inversas.
Ejemplo
Calcule la siguiente transformada inversa

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s-2)(s-3)} \right\}$

Solución
Usando el teorema de convolución

$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s-2)(s-3)} \right\}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \frac{1}{s-3} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-2} \right\} \star {\cal L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s-3} \right\}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle {\cal L} e^{2t} \star e^{3t}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \int_0^t e^{2 \tau} e^{3(t - \tau)} d \tau$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle e^{3t} - e^{2t}$

MATEMATICAS V

lunes, mayo 09, 2011

3.10 TEOREMA DE LA CONVOLUCIÓN

No hay comentarios.:

Publicar un comentario

Twitter